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上节课我们主要介绍了如何建立一个实用的深度学习神经网络。包括Train/Dev/Test sets的比例选择，Bias和Variance的概念和区别：Bias对应欠拟合，Variance对应过拟合。接着，我们介绍了防止过拟合的两种方法：L2 regularization和Dropout。然后，介绍了如何进行规范化输入，以加快梯度下降速度和精度。然后，我们介绍了梯度消失和梯度爆炸的概念和危害，并提出了如何使用梯度初始化来降低这种风险。最后，我们介绍了梯度检查，来验证梯度下降算法是否正确。本节课，我们将继续讨论深度神经网络中的一些优化算法，通过使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度。
Mini-batch gradient descent
之前我们介绍的神经网络训练过程是对所有m个样本，称为batch，通过向量化计算方式，同时进行的。如果m很大，例如达到百万数量级，训练速度往往会很慢，因为每次迭代都要对所有样本进行进行求和运算和矩阵运算。我们将这种梯度下降算法称为Batch Gradient Descent。
为了解决这一问题，我们可以把m个训练样本分成若干个子集，称为mini-batches，这样每个子集包含的数据量就小了，例如只有1000，然后每次在单一子集上进行神经网络训练，速度就会大大提高。这种梯度下降算法叫做Mini-batch Gradient Descent。
假设总的训练样本个数m=5000000，其维度为$(n_x,m)$。将其分成5000个子集，每个mini-batch含有1000个样本。我们将每个mini-batch记为$X^{\{t\}}$，其维度为$(n_x,1000)$。相应的每个mini-batch的输出记为$Y^{\{t\}}$，其维度为$(1,1000)$，且$t=1,2,\cdots,5000$。
这里顺便总结一下我们遇到的神经网络中几类字母的上标含义：
$X^{(i)}$ ：第i个样本
$Z^{[l]}$：神经网络第$l$层网络的线性输出
$X^{\{t\}},Y^{\{t\}}$：第t组mini-batch
Mini-batches Gradient Descent的实现过程是先将总的训练样本分成T个子集（mini-batches），然后对每个mini-batch进行神经网络训练，包括Forward Propagation，Compute Cost Function，Backward Propagation，循环至T个mini-batch都训练完毕。
$for\ \ t=1,\cdots,T\ \ \{$
$\ \ \ \ Forward\ Propagation$
$\ \ \ \ Compute Cost Function$
$\ \ \ \ Backward Propagation$
$\ \ \ \ W:=W-\alpha\cdot dW$
$\ \ \ \ b:=b-\alpha\cdot db$
$\}$
经过T次循环之后，所有m个训练样本都进行了梯度下降计算。这个过程，我们称之为经历了一个epoch。对于Batch Gradient Descent而言，一个epoch只进行一次梯度下降算法；而Mini-Batches Gradient Descent，一个epoch会进行T次梯度下降算法。
值得一提的是，对于Mini-Batches Gradient Descent，可以进行多次epoch训练。而且，每次epoch，最好是将总体训练数据重新打乱、重新分成T组mini-batches，这样有利于训练出最佳的神经网络模型。
Understanding mini-batch gradient descent
Batch gradient descent和Mini-batch gradient descent的cost曲线如下图所示：
对于一般的神经网络模型，使用Batch gradient descent，随着迭代次数增加，cost是不断减小的。然而，使用Mini-batch gradient descent，随着在不同的mini-batch上迭代训练，其cost不是单调下降，而是受类似noise的影响，出现振荡。但整体的趋势是下降的，最终也能得到较低的cost值。
之所以出现细微振荡的原因是不同的mini-batch之间是有差异的。例如可能第一个子集$(X^1,Y^1)$是好的子集，而第二个子集$(X^2,Y^2)$包含了一些噪声noise。出现细微振荡是正常的。
如何选择每个mini-batch的大小，即包含的样本个数呢？有两个极端：如果mini-batch size=m，即为Batch gradient descent，只包含一个子集为$(X^1,Y^1)=(X,Y)$；如果mini-batch size=1，即为Stachastic gradient descent，每个样本就是一个子集$(X^1,Y^1)=(x^{(i)},y^{(i)})$，共有m个子集。
我们来比较一下Batch gradient descent和Stachastic gradient descent的梯度下降曲线。如下图所示，蓝色的线代表Batch gradient descent，紫色的线代表Stachastic gradient descent。Batch gradient descent会比较平稳地接近全局最小值，但是因为使用了所有m个样本，每次前进的速度有些慢。Stachastic gradient descent每次前进速度很快，但是路线曲折，有较大的振荡，最终会在最小值附近来回波动，难以真正达到最小值处。而且在数值处理上就不能使用向量化的方法来提高运算速度。
实际使用中，mini-batch size不能设置得太大（Batch gradient descent），也不能设置得太小（Stachastic gradient descent）。这样，相当于结合了Batch gradient descent和Stachastic gradient descent各自的优点，既能使用向量化优化算法，又能叫快速地找到最小值。mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如下图绿色所示，每次前进速度较快，且振荡较小，基本能接近全局最小值。
一般来说，如果总体样本数量m不太大时，例如$m\leq2000$，建议直接使用Batch gradient descent。如果总体样本数量m很大时，建议将样本分成许多mini-batches。推荐常用的mini-batch size为64,128,256,512。这些都是2的幂。之所以这样设置的原因是计算机存储数据一般是2的幂，这样设置可以提高运算速度。
Exponentially weighted averages
该部分我们将介绍指数加权平均（Exponentially weighted averages）的概念。
举个例子，记录半年内伦敦市的气温变化，并在二维平面上绘制出来，如下图所示：
看上去，温度数据似乎有noise，而且抖动较大。如果我们希望看到半年内气温的整体变化趋势，可以通过移动平均（moving average）的方法来对每天气温进行平滑处理。
例如我们可以设$V_0=0$，当成第0天的气温值。
第一天的气温与第0天的气温有关：
$$V_1=0.9V_0+0.1\theta_1$$
第二天的气温与第一天的气温有关：
$$\begin{eqnarray}V_2
&=&0.9V_1+0.1\theta_2\
&=&0.9(0.9V_0+0.1\theta_1)+0.1\theta_2\
&=&0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2
\end{eqnarray}$$
第三天的气温与第二天的气温有关：
$$\begin{eqnarray}V_3
&=&0.9V_2+0.1\theta_3\
&=&0.9(0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2)+0.1\theta_3\
&=&0.9^3V_0+0.9^2\cdot 0.1\theta_1+0.9\cdot 0.1\theta_2+0.1\theta_3
\end{eqnarray}$$
即第t天与第t-1天的气温迭代关系为：
$$\begin{eqnarray}V_t
&=&0.9V_{t-1}+0.1\theta_t\
&=&0.9^tV_0+0.9^{t-1}\cdot0.1\theta_1+0.9^{t-2}\cdot 0.1\theta_2+\cdots+0.9\cdot0.1\theta_{t-1}+0.1\theta_t
\end{eqnarray}$$
经过移动平均处理得到的气温如下图红色曲线所示：
这种滑动平均算法称为指数加权平均（exponentially weighted average）。根据之前的推导公式，其一般形式为：
$$V_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t$$
上面的例子中，$\beta=0.9$。$\beta$值决定了指数加权平均的天数，近似表示为：
$$\frac{1}{1-\beta}$$
例如，当$\beta=0.9$，则$\frac{1}{1-\beta}=10$，表示将前10天进行指数加权平均。当$\beta=0.98$，则$\frac{1}{1-\beta}=50$，表示将前50天进行指数加权平均。$\beta$值越大，则指数加权平均的天数越多，平均后的趋势线就越平缓，但是同时也会向右平移。下图绿色曲线和黄色曲线分别表示了$\beta=0.98$和$\beta=0.5$时，指数加权平均的结果。
这里简单解释一下公式$\frac{1}{1-\beta}$是怎么来的。准确来说，指数加权平均算法跟之前所有天的数值都有关系，根据之前的推导公式就能看出。但是指数是衰减的，一般认为衰减到$\frac1e$就可以忽略不计了。因此，根据之前的推导公式，我们只要证明
$$\beta^{\frac{1}{1-\beta}}=\frac1e$$
就好了。
令$\frac{1}{1-\beta}=N$，$N>0$，则$\beta=1-\frac{1}{N}$，$\frac1N<1$。即证明转化为：
$$(1-\frac1N)^N=\frac1e$$
显然，当$N>>0$时，上述等式是近似成立的。
至此，简单解释了为什么指数加权平均的天数的计算公式为$\frac{1}{1-\beta}$。
Understanding exponetially weighted averages
我们将指数加权平均公式的一般形式写下来：
$$\begin{eqnarray}V_t
&=&\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t\
&=&(1-\beta)\theta_t+(1-\beta)\cdot\beta\cdot\theta_{t-1}+(1-\beta)\cdot \beta^2\cdot\theta_{t-2}+\cdots\
&&+(1-\beta)\cdot \beta^{t-1}\cdot \theta_1+\beta^t\cdot V_0
\end{eqnarray}$$
观察上面这个式子，$\theta_t,\theta_{t-1},\theta_{t-2},\cdots,\theta_1$是原始数据值，$(1-\beta),(1-\beta)\beta,(1-\beta)\beta^2,\cdots,(1-\beta)\beta^{t-1}$是类似指数曲线，从右向左，呈指数下降的。$V_t$的值就是这两个子式的点乘，将原始数据值与衰减指数点乘，相当于做了指数衰减，离得越近，影响越大，离得越远，影响越小，衰减越厉害。
我们已经知道了指数加权平均的递推公式。实际应用中，为了减少内存的使用，我们可以使用这样的语句来实现指数加权平均算法：
$V_{\theta}=0$
$Repeat\ \{$
$\ \ \ \ Get\ next\ \theta_t$
$\ \ \ \ V_{\theta}:=\beta V_{\theta}+(1-\beta)\theta_t$
$\}$
Bias correction in exponentially weighted average
上文中提到当$\beta=0.98$时，指数加权平均结果如下图绿色曲线所示。但是实际上，真实曲线如紫色曲线所示。
我们注意到，紫色曲线与绿色曲线的区别是，紫色曲线开始的时候相对较低一些。这是因为开始时我们设置$V_0=0$，所以初始值会相对小一些，直到后面受前面的影响渐渐变小，趋于正常。
修正这种问题的方法是进行偏移校正（bias correction），即在每次计算完$V_t$后，对$V_t$进行下式处理：
$$\frac{V_t}{1-\beta^t}$$
在刚开始的时候，t比较小，$(1-\beta^t)<1$，这样就将$V_t$修正得更大一些，效果是把紫色曲线开始部分向上提升一些，与绿色曲线接近重合。随着t增大，$(1-\beta^t)\approx1$，$V_t$基本不变，紫色曲线与绿色曲线依然重合。这样就实现了简单的偏移校正，得到我们希望的绿色曲线。
值得一提的是，机器学习中，偏移校正并不是必须的。因为，在迭代一次次数后（t较大），$V_t$受初始值影响微乎其微，紫色曲线与绿色曲线基本重合。所以，一般可以忽略初始迭代过程，等到一定迭代之后再取值，这样就不需要进行偏移校正了。
Gradient descent with momentum
该部分将介绍动量梯度下降算法，其速度要比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时，对梯度进行指数加权平均处理，然后用得到的梯度值更新权重W和常数项b。下面介绍具体的实现过程。
原始的梯度下降算法如上图蓝色折线所示。在梯度下降过程中，梯度下降的振荡较大，尤其对于W、b之间数值范围差别较大的情况。此时每一点处的梯度只与当前方向有关，产生类似折线的效果，前进缓慢。而如果对梯度进行指数加权平均，这样使当前梯度不仅与当前方向有关，还与之前的方向有关，这样处理让梯度前进方向更加平滑，减少振荡，能够更快地到达最小值处。
权重W和常数项b的指数加权平均表达式如下：
$$V_{dW}=\beta\cdot V_{dW}+(1-\beta)\cdot dW$$
$$V_{db}=\beta\cdot V_{db}+(1-\beta)\cdot db$$
从动量的角度来看，以权重W为例，$V_{dW}$可以成速度V，$dW$可以看成是加速度a。指数加权平均实际上是计算当前的速度，当前速度由之前的速度和现在的加速度共同影响。而$\beta<1$，又能限制速度$V_{dW}$过大。也就是说，当前的速度是渐变的，而不是瞬变的，是动量的过程。这保证了梯度下降的平稳性和准确性，减少振荡，较快地达到最小值处。
动量梯度下降算法的过程如下：
$On\ iteration\ t:$
$\ \ \ \ Compute\ dW,\ db\ on\ the\ current\ mini-batch$
$\ \ \ \ V_{dW}=\beta V_{dW}+(1-\beta)dW$
$\ \ \ \ V_{db}=\beta V_{db}+(1-\beta)db$
$\ \ \ \ W=W-\alpha V_{dW},\ b=b-\alpha V_{db}$
初始时，令$V_{dW}=0,V_{db}=0$。一般设置$\beta=0.9$，即指数加权平均前10天的数据，实际应用效果较好。
另外，关于偏移校正，可以不使用。因为经过10次迭代后，随着滑动平均的过程，偏移情况会逐渐消失。
补充一下，在其它文献资料中，动量梯度下降还有另外一种写法：
$$V_{dW}=\beta V_{dW}+dW$$
$$V_{db}=\beta V_{db}+db$$
即消去了$dW$和$db$前的系数$(1-\beta)$。这样简化了表达式，但是学习因子$\alpha$相当于变成了$\frac{\alpha}{1-\beta}$，表示$\alpha$也受$\beta$的影响。从效果上来说，这种写法也是可以的，但是不够直观，且调参涉及到$\alpha$，不够方便。所以，实际应用中，推荐第一种动量梯度下降的表达式。
RMSprop
RMSprop是另外一种优化梯度下降速度的算法。每次迭代训练过程中，其权重W和常数项b的更新表达式为：
$$S_W=\beta S_{dW}+(1-\beta)dW^2$$
$$S_b=\beta S_{db}+(1-\beta)db^2$$
$$W:=W-\alpha \frac{dW}{\sqrt{S_W}},\ b:=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_b}}$$
下面简单解释一下RMSprop算法的原理，仍然以下图为例，为了便于分析，令水平方向为W的方向，垂直方向为b的方向。
从图中可以看出，梯度下降（蓝色折线）在垂直方向（b）上振荡较大，在水平方向（W）上振荡较小，表示在b方向上梯度较大，即$db$较大，而在W方向上梯度较小，即$dW$较小。因此，上述表达式中$S_b$较大，而$S_W$较小。在更新W和b的表达式中，变化值$\frac{dW}{\sqrt{S_W}}$较大，而$\frac{db}{\sqrt{S_b}}$较小。也就使得W变化得多一些，b变化得少一些。即加快了W方向的速度，减小了b方向的速度，减小振荡，实现快速梯度下降算法，其梯度下降过程如绿色折线所示。总得来说，就是如果哪个方向振荡大，就减小该方向的更新速度，从而减小振荡。
还有一点需要注意的是为了避免RMSprop算法中分母为零，通常可以在分母增加一个极小的常数$\varepsilon$：
$$W:=W-\alpha \frac{dW}{\sqrt{S_W}+\varepsilon},\ b:=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_b}+\varepsilon}$$
其中，$\varepsilon=10^{-8}$，或者其它较小值。
Adam optimization algorithm
Adam（Adaptive Moment Estimation）算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法。其算法流程为：
$V_{dW}=0,\ S_{dW},\ V_{db}=0,\ S_{db}=0$
$On\ iteration\ t:$
$\ \ \ \ Cimpute\ dW,\ db$
$\ \ \ \ V_{dW}=\beta_1V_{dW}+(1-\beta_1)dW,\ V_{db}=\beta_1V_{db}+(1-\beta_1)db$
$\ \ \ \ S_{dW}=\beta_2S_{dW}+(1-\beta_2)dW^2,\ S_{db}=\beta_2S_{db}+(1-\beta_2)db^2$
$\ \ \ \ V_{dW}^{corrected}=\frac{V_{dW}}{1-\beta_1^t},\ V_{db}^{corrected}=\frac{V_{db}}{1-\beta_1^t}$
$\ \ \ \ S_{dW}^{corrected}=\frac{S_{dW}}{1-\beta_2^t},\ S_{db}^{corrected}=\frac{S_{db}}{1-\beta_2^t}$
$\ \ \ \ W:=W-\alpha\frac{V_{dW}^{corrected}}{\sqrt{S_{dW}^{corrected}}+\varepsilon},\ b:=b-\alpha\frac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+\varepsilon}$
Adam算法包含了几个超参数，分别是：$\alpha,\beta_1,\beta_2,\varepsilon$。其中，$\beta_1$通常设置为0.9，$\beta_2$通常设置为0.999，$\varepsilon$通常设置为$10^{-8}$。一般只需要对$\beta_1$和$\beta_2$进行调试。
实际应用中，Adam算法结合了动量梯度下降和RMSprop各自的优点，使得神经网络训练速度大大提高。
Learning rate decay
减小学习因子$\alpha$也能有效提高神经网络训练速度，这种方法被称为learning rate decay。
Learning rate decay就是随着迭代次数增加，学习因子$\alpha$逐渐减小。下面用图示的方式来解释这样做的好处。下图中，蓝色折线表示使用恒定的学习因子$\alpha$，由于每次训练$\alpha$相同，步进长度不变，在接近最优值处的振荡也大，在最优值附近较大范围内振荡，与最优值距离就比较远。绿色折线表示使用不断减小的$\alpha$，随着训练次数增加，$\alpha$逐渐减小，步进长度减小，使得能够在最优值处较小范围内微弱振荡，不断逼近最优值。相比较恒定的$\alpha$来说，learning rate decay更接近最优值。
Learning rate decay中对$\alpha$可由下列公式得到：
$$\alpha=\frac{1}{1+decay_rate*epoch}\alpha_0$$
其中，deacy_rate是参数（可调），epoch是训练完所有样本的次数。随着epoch增加，$\alpha$会不断变小。
除了上面计算$\alpha$的公式之外，还有其它可供选择的计算公式：
$$\alpha=0.95^{epoch}\cdot \alpha_0$$
$$\alpha=\frac{k}{\sqrt{epoch}}\cdot \alpha_0\ \ \ \ or\ \ \ \ \frac{k}{\sqrt{t}}\cdot \alpha_0$$
其中，k为可调参数，t为mini-bach number。
除此之外，还可以设置$\alpha$为关于t的离散值，随着t增加，$\alpha$呈阶梯式减小。当然，也可以根据训练情况灵活调整当前的$\alpha$值，但会比较耗时间。
The problem of local optima
在使用梯度下降算法不断减小cost function时，可能会得到局部最优解（local optima）而不是全局最优解（global optima）。之前我们对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽，如下图左边所示。但是在神经网络中，local optima的概念发生了变化。准确地来说，大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处，而是形如右边所示的马鞍状，称为saddle point。也就是说，梯度为零并不能保证都是convex（极小值），也有可能是concave（极大值）。特别是在神经网络中参数很多的情况下，所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point，而不是左边那样的local optimum。
类似马鞍状的plateaus会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域，如下图所示。在plateaus上梯度很小，前进缓慢，到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后，由于随机扰动，梯度一般能够沿着图中绿色箭头，离开saddle point，继续前进，只是在plateaus上花费了太多时间。
总的来说，关于local optima，有两点总结：
只要选择合理的强大的神经网络，一般不太可能陷入local optima
Plateaus可能会使梯度下降变慢，降低学习速度
值得一提的是，上文介绍的动量梯度下降，RMSprop，Adam算法都能有效解决plateaus下降过慢的问题，大大提高神经网络的学习速度。
