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上节课我们主要介绍了SVM的对偶形式，即dual SVM。Dual SVM也是一个二次规划问题，可以用QP来进行求解。之所以要推导SVM的对偶形式是因为：首先，它展示了SVM的几何意义；然后，从计算上，求解过程“好像”与所在维度$\hat d$无关，规避了$\hat d$很大时难以求解的情况。但是，上节课的最后，我们也提到dual SVM的计算过程其实跟$\hat d$还是有关系的。那么，能不能完全摆脱对$\hat d$的依赖，从而减少SVM计算量呢？这就是我们本节课所要讲的主要内容。
Kernel Trick
我们上节课推导的dual SVM是如下形式：
其中$\alpha$是拉格朗日因子，共N个，这是我们要求解的，而条件共有N+1个。我们来看向量$Q_D$中的$q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m$，看似这个计算与$\hat d$无关，但是$z_n^Tz_m$的内积中不得不引入$\hat d$。也就是说，如果$\hat d$很大，计算$z_n^Tz_m$的复杂度也会很高，同样会影响QP问题的计算效率。可以说，$q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m$这一步是计算的瓶颈所在。
其实问题的关键在于$z_n^Tz_m$内积求解上。我们知道，z是由x经过特征转换而来：
$$z_n^Tz_m=\Phi(x_n)\Phi(x_m)$$
如果从x空间来看的话，$z_n^Tz_m$分为两个步骤：1. 进行特征转换$\Phi(x_n)$和$\Phi(x_m)$；2. 计算$\Phi(x_n)$与$\Phi(x_m)$的内积。这种先转换再计算内积的方式，必然会引入$\hat d$参数，从而在$\hat d$很大的时候影响计算速度。那么，若把这两个步骤联合起来，是否可以有效地减小计算量，提高计算速度呢？
我们先来看一个简单的例子，对于二阶多项式转换，各种排列组合为：
这里提一下，为了简单起见，我们把$x_0=1$包含进来，同时将二次项$x_1x_2$和$x_2x_1$也包含进来。转换之后再做内积并进行推导，得到：
其中$x^Tx’$是x空间中特征向量的内积。所以，$\Phi_2(x)$与$\Phi_2(x’)$的内积的复杂度由原来的$O(d^2)$变成$O(d)$，只与x空间的维度d有关，而与z空间的维度$\hat d$无关，这正是我们想要的！
至此，我们发现如果把特征转换和z空间计算内积这两个步骤合并起来，有可能会简化计算。因为我们只是推导了二阶多项式会提高运算速度，这个特例并不具有一般推论性。但是，我们还是看到了希望。
我们把合并特征转换和计算内积这两个步骤的操作叫做Kernel Function，用大写字母K表示。例如刚刚讲的二阶多项式例子，它的kernel function为：
$$K_{\Phi}(x,x’)=\Phi(x)^T\Phi(x’)$$
$$K_{\Phi_2}(x,x’)=1+(x^Tx’)+(x^Tx’)^2$$
有了kernel function之后，我们来看看它在SVM里面如何使用。在dual SVM中，二次项系数$q_{n,m}$中有z的内积计算，就可以用kernel function替换：
$$q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m=y_ny_mK(x_n,x_m)$$
所以，直接计算出$K(x_n,x_m)$，再代入上式，就能得到$q_{n,m}$的值。
$q_{n,m}$值计算之后，就能通过QP得到拉格朗日因子$\alpha_n$。然后，下一步就是计算b（取$\alpha_n$>0的点，即SV），b的表达式中包含z，可以作如下推导：
$$b=y_s-w^Tz_s=y_s-(\sum_{n=1}^N\alpha_ny_nz_n)^Tz_s=y_s-\sum_{n=1}^N\alpha_ny_n(K(x_n,x_s))$$
这样得到的b就可以用kernel function表示，而与z空间无关。
最终我们要求的矩$g_{SVM}$可以作如下推导：
$$g_{SVM}(x)=sign(w^T\Phi(x)+b)=sign((\sum_{n=1}^N\alpha_ny_nz_n)^Tz+b)=sign(\sum_{n=1}^N\alpha_ny_n(K(x_n,x))+b)$$
至此，dual SVM中我们所有需要求解的参数都已经得到了，而且整个计算过程中都没有在z空间作内积，即与z无关。我们把这个过程称为kernel trick，也就是把特征转换和计算内积两个步骤结合起来，用kernel function来避免计算过程中受$\hat d$的影响，从而提高运算速度。
那么总结一下，引入kernel funtion后，SVM算法变成：
分析每个步骤的时间复杂度为：
我们把这种引入kernel function的SVM称为kernel SVM，它是基于dual SVM推导而来的。kernel SVM同样只用SV（$\alpha_n$>0）就能得到最佳分类面，而且整个计算过程中摆脱了$\hat d$的影响，大大提高了计算速度。
Polynomial Kernel
我们刚刚通过一个特殊的二次多项式导出了相对应的kernel，其实二次多项式的kernel形式是多种的。例如，相应系数的放缩构成完全平方公式等。下面列举了几种常用的二次多项式kernel形式：
比较一下，第一种$\Phi_2(x)$（蓝色标记）和第三种$\Phi_2(x)$（绿色标记）从某种角度来说是一样的，因为都是二次转换，对应到同一个z空间。但是，它们系数不同，内积就会有差异，那么就代表有不同的距离，最终可能会得到不同的SVM margin。所以，系数不同，可能会得到不同的SVM分界线。通常情况下，第三种$\Phi_2(x)$（绿色标记）简单一些，更加常用。
不同的转换，对应到不同的几何距离，得到不同的距离，这是什么意思呢？举个例子，对于我们之前介绍的一般的二次多项式kernel，它的SVM margin和对应的SV如下图（中）所示。对于上面介绍的完全平方公式形式，自由度$\gamma=0.001$，它的SVM margin和对应的SV如下图（左）所示。比较发现，这种SVM margin比较简单一些。对于自由度$\gamma=1000$，它的SVM margin和对应的SV如下图（右）所示。与前两种比较，margin和SV都有所不同。
通过改变不同的系数，得到不同的SVM margin和SV，如何选择正确的kernel，非常重要。
归纳一下，引入$\zeta\geq 0$和$\gamma>0$，对于Q次多项式一般的kernel形式可表示为：
所以，使用高阶的多项式kernel有两个优点：
得到最大SVM margin，SV数量不会太多，分类面不会太复杂，防止过拟合，减少复杂度
计算过程避免了对$\hat d$的依赖，大大简化了计算量。
顺便提一下，当多项式阶数Q=1时，那么对应的kernel就是线性的，即本系列课程第一节课所介绍的内容。对于linear kernel，计算方法是简单的，而且也是我们解决SVM问题的首选。还记得机器学习基石课程中介绍的奥卡姆剃刀定律（Occam’s Razor）吗？
Gaussian Kernel
刚刚我们介绍的Q阶多项式kernel的阶数是有限的，即特征转换的$\hat d$是有限的。但是，如果是无限多维的转换$\Phi(x)$，是否还能通过kernel的思想，来简化SVM的计算呢？答案是肯定的。
先举个例子，简单起见，假设原空间是一维的，只有一个特征x，我们构造一个kernel function为高斯函数：
$$K(x,x’)=e^{-(x-x’)^2}$$
构造的过程正好与二次多项式kernel的相反，利用反推法，先将上式分解并做泰勒展开：
将构造的K(x,x’)推导展开为两个$\Phi(x)$和$\Phi(x’)$的乘积，其中：
$$\Phi(x)=e^{-x^2}\cdot (1,\sqrt \frac{2}{1!}x,\sqrt \frac{2^2}{2!}x^2,\cdots)$$
通过反推，我们得到了$\Phi(x)$，$\Phi(x)$是无限多维的，它就可以当成特征转换的函数，且$\hat d$是无限的。这种$\Phi(x)$得到的核函数即为Gaussian kernel。
更一般地，对于原空间不止一维的情况（d>1），引入缩放因子$\gamma>0$，它对应的Gaussian kernel表达式为：
$$K(x,x’)=e^{-\gamma||x-x’||^2}$$
那么引入了高斯核函数，将有限维度的特征转换拓展到无限的特征转换中。根据本节课上一小节的内容，由K，计算得到$\alpha_n$和b，进而得到矩$g_{SVM}$。将其中的核函数K用高斯核函数代替，得到：
$$g_{SVM}(x)=sign(\sum_{SV}\alpha_ny_nK(x_n,x)+b)=sign(\sum_{SV}\alpha_ny_ne^{(-\gamma||x-x_n||^2)}+b)$$
通过上式可以看出，$g_{SVM}$有n个高斯函数线性组合而成，其中n是SV的个数。而且，每个高斯函数的中心都是对应的SV。通常我们也把高斯核函数称为径向基函数（Radial Basis Function, RBF）。
总结一下，kernel SVM可以获得large-margin的hyperplanes，并且可以通过高阶的特征转换使$E_{in}$尽可能地小。kernel的引入大大简化了dual SVM的计算量。而且，Gaussian kernel能将特征转换扩展到无限维，并使用有限个SV数量的高斯函数构造出矩$g_{SVM}$。
值得注意的是，缩放因子$\gamma$取值不同，会得到不同的高斯核函数，hyperplanes不同，分类效果也有很大的差异。举个例子，$\gamma$分别取1, 10, 100时对应的分类效果如下：
从图中可以看出，当$\gamma$比较小的时候，分类线比较光滑，当$\gamma$越来越大的时候，分类线变得越来越复杂和扭曲，直到最后，分类线变成一个个独立的小区域，像小岛一样将每个样本单独包起来了。为什么会出现这种区别呢？这是因为$\gamma$越大，其对应的高斯核函数越尖瘦，那么有限个高斯核函数的线性组合就比较离散，分类效果并不好。所以，SVM也会出现过拟合现象，$\gamma$的正确选择尤为重要，不能太大。
Comparison of Kernels
目前为止，我们已经介绍了几种kernel，下面来对几种kernel进行比较。
首先，Linear Kernel是最简单最基本的核，平面上对应一条直线，三维空间里对应一个平面。Linear Kernel可以使用上一节课介绍的Dual SVM中的QP直接计算得到。
Linear Kernel的优点是计算简单、快速，可以直接使用QP快速得到参数值，而且从视觉上分类效果非常直观，便于理解；缺点是如果数据不是线性可分的情况，Linear Kernel就不能使用了。
然后，Polynomial Kernel的hyperplanes是由多项式曲线构成。
Polynomial Kernel的优点是阶数Q可以灵活设置，相比linear kernel限制更少，更贴近实际样本分布；缺点是当Q很大时，K的数值范围波动很大，而且参数个数较多，难以选择合适的值。
对于Gaussian Kernel，表示为高斯函数形式。
Gaussian Kernel的优点是边界更加复杂多样，能最准确地区分数据样本，数值计算K值波动较小，而且只有一个参数，容易选择；缺点是由于特征转换到无限维度中，w没有求解出来，计算速度要低于linear kernel，而且可能会发生过拟合。
除了这三种kernel之外，我们还可以使用其它形式的kernel。首先，我们考虑kernel是什么？实际上kernel代表的是两笔资料x和x’，特征变换后的相似性即内积。但是不能说任何计算相似性的函数都可以是kernel。有效的kernel还需满足几个条件：
K是对称的
K是半正定的
这两个条件不仅是必要条件，同时也是充分条件。所以，只要我们构造的K同时满足这两个条件，那它就是一个有效的kernel。这被称为Mercer 定理。事实上，构造一个有效的kernel是比较困难的。
Summary
本节课主要介绍了Kernel Support Vector Machine。首先，我们将特征转换和计算内积的操作合并到一起，消除了$\hat d$的影响，提高了计算速度。然后，分别推导了Polynomial Kernel和Gaussian Kernel，并列举了各自的优缺点并做了比较。对于不同的问题，应该选择合适的核函数进行求解，以达到最佳的分类效果。
注明：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程
